Упр.60.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ система уравнений имеет решения:

а) система $$y=2x^2-bx+1$$, $$y=3x+a$$;

б) система $$y=3x^2-4x-2$$, $$y=-10x+a$$?

Рассмотрим каждую систему отдельно. Система имеет решения тогда и только тогда, когда уравнение, полученное приравниванием правых частей, имеет действительные корни.

а)

$$2x^2-5x+1=3x+a$$
$$2x^2-8x+(1-a)=0$$

Для существования действительных решений нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot(1-a)=64-8+8a=56+8a$$
$$56+8a\ge 0$$
$$8a\ge -56$$
$$a\ge -7$$

б)

$$3x^2-4x-2=-10x+a$$
$$3x^2+6x-(2+a)=0$$

Требуем неотрицательность дискриминанта:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot (-(2+a))=36+12(2+a)=60+12a$$
$$60+12a\ge 0$$
$$12a\ge -60$$
$$a\ge -5$$

Ответ: а) $$a\in[-7;+\infty)$$; б) $$a\in[-5;+\infty)$$.