Упр.60.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$b$$ графики функций имеют общие точки:
а) $$y=x^2-4x+2$$ и $$y=-2x+b$$;
б) $$y=x^2+6x+7$$ и $$y=2x+b$$?

Рассмотрим точки пересечения графиков. Для этого приравняем правые части функций.

а)

$$x^2-4x+2=-2x+b$$

$$x^2-2x+(2-b)=0$$

Чтобы графики имели общие точки, это квадратное уравнение должно иметь действительные корни, то есть

$$D\ge 0$$

$$D=(-2)^2-4(2-b)=4-8+4b=4b-4$$

$$4b-4\ge 0$$

$$b\ge 1$$

б)

$$x^2+6x+7=2x+b$$

$$x^2+4x+(7-b)=0$$

Для существования общих точек нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D=4^2-4(7-b)=16-28+4b=4b-12$$

$$4b-12\ge 0$$

$$b\ge 3$$

Ответ

а) $$b\in[1;+\infty)$$; б) $$b\in[3;+\infty)$$.