Упр.60.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство (относительно $$x$$): а) $$mx-x+1\geqslant m^2$$; б) $$b^2x-x+1>b$$.

а) Преобразуем неравенство:

$$mx-x+1\ge m^2$$

$$x(m-1)\ge m^2-1$$

$$x(m-1)\ge (m-1)(m+1)$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$m=1,$$ то получаем $$0\ge 0,$$ значит, $$x\in \mathbb{R}.$$
• Если $$m>1,$$ то $$m-1>0,$$ и после деления на положительное число знак неравенства не меняется:

  $$x\ge m+1.$$

• Если $$m<1,$$ то $$m-1<0,$$ и при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

  $$x\le m+1.$$

б) Преобразуем неравенство:

$$b^2x-x+1>b$$

$$x(b^2-1)>b-1$$

$$x(b-1)(b+1)>b-1$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$b=1,$$ то получаем $$0>0,$$ решений нет: $$x\in \varnothing.$$
• Если $$b=-1,$$ то получаем $$0>-2,$$ верно при любом $$x,$$ значит, $$x\in \mathbb{R}.$$
• Если $$b>1,$$ то $$b-1>0$$ и $$b+1>0,$$ поэтому

  $$x>\frac{1}{b+1}.$$

• Если $$-1<b<1,$$ то $$b-1<0$$, $$b+1>0,$$ поэтому

  $$x<\frac{1}{b+1}.$$

• Если $$b<-1,$$ то $$b-1<0$$ и $$b+1<0,$$ значит

  $$x>\frac{1}{b+1}.$$

Ответ

а) $$x\ge m+1$$ при $$m>1$$; $$x\le m+1$$ при $$m<1$$; $$x\in \mathbb{R}$$ при $$m=1.$$

б) $$x>\frac{1}{b+1}$$ при $$b<-1$$ или $$b>1$$; $$x<\frac{1}{b+1}$$ при $$-1<b<1$$; $$x\in \mathbb{R}$$ при $$b=-1$$; $$x\in \varnothing$$ при $$b=1.$$