Упр.60.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение относительно $$x$$: а) $$a^2x-4x+2=a$$; б) $$\frac{x}{a}+x-1=a$$.

а) $$a^2x-4x+2=a$$

Перенесём число $$2$$ вправо и вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(a^2-4)=a-2$$

Разложим разность квадратов:

$$x(a-2)(a+2)=a-2$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$a\neq 2$$ и $$a\neq -2$$, то можно сократить на $$a-2$$:

  $$x(a+2)=1$$

  $$x=\frac{1}{a+2}$$

• Если $$a=2$$, то исходное уравнение принимает вид $$4x-4x+2=2$$, то есть верно при любом $$x$$.
• Если $$a=-2$$, то получаем $$4x-4x+2=-2$$, что невозможно, значит решений нет.

б) $$\frac{x}{a}+x-1=a$$

Так как в уравнении есть деление на $$a$$, то $$a\neq 0$$.

Перенесём число $$1$$ вправо и вынесем $$x$$ за скобки:

$$x\left(\frac{1}{a}+1\right)=a+1$$

$$x\cdot \frac{a+1}{a}=a+1$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$a\neq -1$$ и $$a\neq 0$$, то можно сократить на $$a+1$$:

  $$x=a$$

• Если $$a=-1$$, то получаем $$-\frac{x}{1}+x-1=-1$$, то есть тождество, верное при любом $$x$$.
• Если $$a=0$$, то уравнение не имеет смысла.

Ответ: а) $$x=\frac{1}{a+2}$$ при $$a\neq \pm 2$$; $$x\in \mathbb{R}$$ при $$a=2$$; решений нет при $$a=-2$$. б) $$x=a$$ при $$a\neq 0,-1$$; $$x\in \mathbb{R}$$ при $$a=-1$$; решений нет при $$a=0$$.