Упр.60.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$b$$ уравнение $$b^2x-x+2=b^2+b$$: а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней; в) имеет более одного корня?

Преобразуем уравнение:

$$b^2x-x+2=b^2+b$$

$$x(b^2-1)=b^2+b-2$$

Разложим на множители:

$$x(b-1)(b+1)=(b-1)(b+2)$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$b\neq \pm 1,$$ то можно разделить на $$b^2-1$$:

   $$x=\frac{b^2+b-2}{b^2-1}=\frac{(b-1)(b+2)}{(b-1)(b+1)}=\frac{b+2}{b+1}.$$

   В этом случае уравнение имеет ровно один корень.

2. Если $$b=1,$$ получаем:

   $$1\cdot x-x+2=1+1,$$

   $$2=2,$$

   то есть уравнение верно при любом $$x$$. Значит, корней бесконечно много.

3. Если $$b=-1,$$ получаем:

   $$x-x+2=1-1,$$

   $$2=0,$$

   что невозможно. Значит, корней нет.

Ответ: а) $$b\in(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty);$$ б) $$b=-1;$$ в) $$b=1.$$