Упр.60.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$:
а) уравнение $$x^4 — 8x^2 + 4 = a$$ не имеет корней;
б) уравнение $$3x^4 + 4x^3 — 12x^2 = a$$ имеет не менее трёх корней?

Пусть $$f(x)=x^4-8x^2+4.$$ Тогда

$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$

Найдём значения функции в них:

$$f(-2)=16-32+4=-12,$$
$$f(0)=4,$$
$$f(2)=16-32+4=-12.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-12$$, а область значений:

$$y\in[-12;+\infty).$$

Уравнение $$x^4-8x^2+4=a$$ не имеет корней тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ лежит ниже графика функции, то есть

$$a<-12.$$

Пусть теперь $$g(x)=3x^4+4x^3-12x^2.$$ Тогда

$$g'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$

Вычислим значения функции:

$$g(-2)=3\cdot16+4\cdot(-8)-12\cdot4=-32,$$
$$g(0)=0,$$
$$g(1)=3+4-12=-5.$$

Следовательно, область значений функции:

$$y\in[-32;+\infty).$$

Чтобы уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2=a$$ имело не менее трёх корней, прямая $$y=a$$ должна пересекать график в трёх точках. Это происходит при

$$-5\le a\le 0.$$

Ответ

а) $$a<-12$$; б) $$-5\le a\le 0$$.