Упр.60.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$a$$ имеет ровно три корня уравнение:
а) $$x(x+3)^2+a=0$$;
б) $$x^3-12x+1=a$$?
а) Рассмотрим функцию $$y=x(x+3)^2=x^3+6x^2+9x.$$
Тогда уравнение принимает вид $$y=-a.$$
Найдём экстремумы функции:
$$y’=3x^2+12x+9=3(x+3)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1.$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$y(-3)=-27+54-27=0,$$
$$y(-1)=-1+6-9=-4.$$
Чтобы горизонтальная прямая $$y=-a$$ пересекала график ровно в трёх точках, нужно, чтобы она проходила между значениями экстремумов:
$$-4<-a<0.$$
Отсюда
$$0<a<4.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x^3-12x+1.$$
Тогда уравнение имеет вид $$y=a.$$
Найдём экстремумы:
$$y’=3x^2-12=3(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-2)=-8+24+1=17,$$
$$y(2)=8-24+1=-15.$$
Для трёх корней нужно, чтобы прямая $$y=a$$ лежала между значениями максимума и минимума:
$$-15<a<17.$$
Ответ: а) $$a\in(0;4)$$; б) $$a\in(-15;17)$$.
