Упр.60.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$:
   а) уравнение $$5^{2x}-3\cdot5^x+a-1=0$$ имеет единственный корень;
   б) уравнение $$0{,}01^x-2(a+1)\cdot0{,}1^x+4=0$$ не имеет действительных корней?

Положим $$t=5^x.$$ Тогда $$t>0$$, и уравнение

$$5^{2x}-3\cdot 5^x+a-1=0$$

превращается в квадратное:

$$t^2-3t+(a-1)=0.$$

а)

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение по $$t$$ должно либо иметь один положительный корень, либо два корня разных знаков, из которых положителен только один.

1) Один корень при $$D=0$$:

$$D=3^2-4(a-1)=9-4a+4=13-4a.$$

$$13-4a=0 \;\Rightarrow\; a=\frac{13}{4}.$$

2) Два корня разных знаков при $$D>0$$ и $$t_1t_2<0$$:

$$t_1t_2=a-1<0 \;\Rightarrow\; a<1.$$

При $$a<1$$ действительно получается ровно один положительный корень $$t$$, а значит, и ровно один корень $$x$$.

Итак,

$$a<1 \quad \text{или} \quad a=\frac{13}{4}.$$

б)

Рассмотрим уравнение

$$0{,}01^x-2(a+1)\cdot 0{,}1^x+4=0.$$

Так как $$0{,}01^x=(0{,}1^x)^2$$, сделаем замену:

$$t=0{,}1^x,\qquad t>0.$$

Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-2(a+1)t+4=0.$$

Чтобы оно не имело действительных корней, нужно, чтобы дискриминант был отрицателен:

$$D=[-2(a+1)]^2-4\cdot 1\cdot 4=4(a+1)^2-16=4(a+3)(a-1).$$

$$4(a+3)(a-1)<0 \;\Rightarrow\; -3<a<1.$$

При этом при $$a<1$$ оба корня по формуле имеют сумму $$2(a+1)$$ и не могут дать положительное $$t$$, поэтому действительных значений $$x$$ нет.

Следовательно,

$$a<1.$$

Ответ: а) $$a<1$$ или $$a=\frac{13}{4}$$; б) $$a<1$$.