Упр.60.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ не имеет корней уравнение:

а) $$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$;

б) $$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$?

Подробный ответ

а) Преобразуем уравнение:

$$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$

$$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x$$

$$4^x(48-16a)=a-27$$

$$16\cdot 4^x(3-a)=a-27$$

$$4^x=\frac{a-27}{16(3-a)}$$

Так как $$4^x>0$$ при любом $$x$$, то уравнение не имеет корней, если правая часть не положительна:

$$\frac{a-27}{3-a}\le 0.$$

Рассмотрим случаи:

если $$a=3$$, то получаем $$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2}$$, то есть $$27=-24$$, что невозможно;
если $$a\ne 3$$, то нужно, чтобы $$\dfrac{a-27}{3-a}\le 0$$.

Отсюда

$$a<3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$

$$3^{2x}+6a\cdot 3^x+9=0.$$

Сделаем замену:

$$t=3^x,\qquad t>0.$$

Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2+6at+9=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело корней, нужно, чтобы это квадратное уравнение не имело положительных корней.

Дискриминант:

$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

Если $$D<0$$, то корней нет. Это возможно при

$$a^2-1<0 \quad \Longrightarrow \quad -1<a<1.$$

Если $$D\ge 0$$, то корни равны

$$t_{1,2}=-3a\pm 3\sqrt{a^2-1}.$$

При $$a\ge 1$$ оба корня неположительны, а при $$a\le -1$$ хотя бы один корень положителен, значит решение существует. Поэтому уравнение не имеет корней только при

$$a>-1.$$