Упр.60.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a>0$$:
   а) уравнение $$\log_3 a\cdot x^2-(2\log_3 a-1)x+\log_3 a-2=0$$ имеет единственный корень;
   б) уравнение $$\log_4 a\cdot x^2+(2\log_4 a+1)x+\log_4 a+2=0$$ не имеет корней?

Пусть $$t=\log_3 a$$ в пункте а) и $$t=\log_4 a$$ в пункте б).

а)

Имеем уравнение

$$tx^2-(2t-1)x+t-2=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно:

• либо $$t=0$$, тогда уравнение становится линейным;
• либо $$D=0$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t-1)^2-4t(t-2)=4t^2-4t+1-4t^2+8t=4t+1.$$

При $$D=0$$ получаем:

$$4t+1=0,\quad t=-\frac14.$$

Тогда

$$\log_3 a=-\frac14,\quad a=3^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]{3}}.$$

При $$t=0$$:

$$\log_3 a=0,\quad a=1.$$

Ответ: $$a=\frac1{\sqrt[4]{3}}$$ или $$a=1$$.

б)

Имеем уравнение

$$tx^2+(2t+1)x+t+2=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно $$D<0$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t+1)^2-4t(t+2)=4t^2+4t+1-4t^2-8t=1-4t.$$

Тогда

$$1-4t<0,\quad t>\frac14.$$

Возвращаясь к переменной $$a$$, получаем:

$$\log_4 a>\frac14,\quad a>4^{1/4}=\sqrt2.$$

Ответ: $$a>\sqrt2$$.