Упр.60.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство (относительно $$x$$): а) $$\sqrt{x-2}(x-a)\ge 0$$; б) $$(6-x)\sqrt{x-a}>0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-2}\,(x-a)\ge 0.$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$

Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда $$x-a\ge 0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x\ge 2,\\ x\ge a. \end{cases}$$

Значит, решение зависит от значения параметра $$a$$:

• если $$a\le 2,$$ то $$x\in[2;+\infty);$$
• если $$a>2,$$ то $$x\in\{2\}\cup[a;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(6-x\right)\sqrt{x-a}>0.$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно $$x-a\ge 0,$$ то есть $$x\ge a.$$

Так как произведение строго положительно, оба множителя должны быть одного знака, а корень неотрицателен. Следовательно, необходимо:

$$\begin{cases} 6-x>0,\\ \sqrt{x-a}>0. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x<6,\\ x>a. \end{cases}$$

Итак, если $$a<6,$$ то

$$x\in(a;6).$$

Если $$a\ge 6,$$ то решений нет.

Ответ

а) $$x\in[2;+\infty),$$ если $$a\le 2;$${br}$$x\in\{2\}\cup[a;+\infty),$$ если $$a>2.$$

б) $$x\in(a;6),$$ если $$a<6;$${br}решений нет, если $$a\ge 6.$$