Упр.60.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ неравенство $$ax^2+4x-3+a>0$$:
   а) выполняется при любых $$x$$;
   б) не имеет решений?

Рассмотрим квадратное неравенство

$$ax^2+4x-3+a>0.$$

Чтобы оно выполнялось при любых $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$:

$$a>0,\qquad D<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot(a-3)=16-4a^2+12a=-4(a^2-3a-4)=-4(a+1)(a-4).$$

Тогда

$$D<0 \iff -4(a+1)(a-4)<0 \iff (a+1)(a-4)>0.$$

Отсюда

$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>4.$$

С учётом условия $$a>0$$ получаем:

$$a>4.$$

Чтобы неравенство не имело решений, парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось $$Ox$$:

$$a<0,\qquad D<0.$$

Из условия $$D<0$$ снова имеем

$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>4.$$

С учётом $$a<0$$ остаётся:

$$a<-1.$$

Ответ

а) $$a>4$$;

б) $$a<-1$$.