Упр.6.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}+\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4}$$;
  б) $$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}$$;
  в) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}$$;
  г) $$\operatorname{tg}\frac{9\pi}{4}+\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$$.

Используем значения тригонометрических функций для табличных углов:

$$\tg \frac{\pi}{4}=1,\quad \ctg \frac{\pi}{4}=1,\quad \ctg \frac{5\pi}{4}=\ctg \frac{\pi}{4}=1,$$
$$\ctg \frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$$

а) $$\tg \frac{\pi}{4}+\ctg \frac{5\pi}{4}=1+1=2.$$

б) $$\ctg \frac{\pi}{3}\cdot \tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}.$$

в) $$\tg \frac{\pi}{6}-\ctg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\frac{1-3}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

г) $$\tg \frac{9\pi}{4}+\ctg \frac{\pi}{4}=\tg \left(\frac{9\pi}{4}-2\pi\right)+1=\tg \frac{\pi}{4}+1=1+1=2.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$\frac{1}{3}$$; в) $$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; г) $$2$$.