Упр.6.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{\sin^2(5)-2\sin(5)\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)+\sin^2\left(\frac{11\pi}{6}\right)}-\sqrt{\sin^2\left(\frac{5\pi}{6}\right)-2\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\sin(5)+\sin^2(5)}$$

а) Используем формулу $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$:

$$\sqrt{\sin^2 5-2\sin 5\sin \frac{11\pi}{6}+\sin^2 \frac{11\pi}{6}} -\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6}-2\sin \frac{5\pi}{6}\sin 5+\sin^2 5}$$
$$=\sqrt{\left(\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right)^2} -\sqrt{\left(\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right)^2}$$
$$=\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| -\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right|.$$

Так как $$\sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12$$, $$\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12$$, а число $$5$$ лежит в IV четверти, то $$\sin 5<0$$. Поэтому

$$\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| =\left|\sin 5+\frac12\right| =-(\sin 5+\frac12),$$
$$\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right| =\left|\frac12-\sin 5\right| =\frac12-\sin 5.$$

$$-(\sin 5+\frac12)-\left(\frac12-\sin 5\right)=-1.$$

б) Аналогично:

$$\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cos \frac{2\pi}{3}+\cos^2 \frac{2\pi}{3}} +\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cos \frac{\pi}{3}+\cos^2 \frac{\pi}{3}}$$
$$=\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right)^2} +\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right)^2}$$
$$=\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| +\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right|.$$

Так как $$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12$$, $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12$$, а число $$4$$ лежит в III четверти, то $$\cos 4<0$$. Следовательно,

$$\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| =\left|\cos 4+\frac12\right| =-(\cos 4+\frac12),$$
$$\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right| =\left|\cos 4-\frac12\right| =\frac12-\cos 4.$$

$$-(\cos 4+\frac12)+\left(\frac12-\cos 4\right)=-2\cos 4.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$-2\cos 4$$.