Упр.6.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

а) $$\sqrt{\sin^2(1)+\sin^2(2)-2\sin(1)\sin(2)}+\sqrt{\frac{1}{4}-\sin(1)+\sin^2(1)}+\sqrt{1+\sin^2(2)-2\sin(2)}$$

а) Преобразуем выражение, используя формулу $$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$$:

$$\sqrt{\sin^2 1+\sin^2 2-2\sin 1\sin 2}+\sqrt{\frac14-\sin 1+\sin^2 1}+\sqrt{1+\sin^2 2-2\sin 2}$$

$$=\sqrt{(\sin 1-\sin 2)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\sin 1\right)^2}+\sqrt{(1-\sin 2)^2}$$

$$=|\sin 1-\sin 2|+\left|\frac12-\sin 1\right|+|1-\sin 2|$$

Так как $$1$$ лежит в I четверти, а $$2$$ — во II четверти, то

$$\sin 1>\frac12,\qquad \sin 2>\sin 1,\qquad \sin 2<1.$$

Значит,

$$|\sin 1-\sin 2|=\sin 2-\sin 1,\qquad \left|\frac12-\sin 1\right|=\sin 1-\frac12,\qquad |1-\sin 2|=1-\sin 2.$$

Тогда

$$\sin 2-\sin 1+\sin 1-\frac12+1-\sin 2=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$.

б) Аналогично:

$$\sqrt{\cos^2 6+\cos^2 7-2\cos 6\cos 7}+\sqrt{\frac14-\cos 7+\cos^2 7}+\sqrt{1+\cos^2 6-2\cos 6}$$

$$=\sqrt{(\cos 6-\cos 7)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\cos 7\right)^2}+\sqrt{(1-\cos 6)^2}$$

$$=|\cos 6-\cos 7|+\left|\frac12-\cos 7\right|+|1-\cos 6|$$

Число $$7$$ лежит в I четверти, а $$6$$ — в IV четверти, поэтому

$$\cos 7>\frac12,\qquad \cos 6>0,\qquad \cos 7>\cos 6.$$

Следовательно,

$$|\cos 6-\cos 7|=\cos 7-\cos 6,\qquad \left|\frac12-\cos 7\right|=\cos 7-\frac12,\qquad |1-\cos 6|=1-\cos 6.$$

Тогда

$$\cos 7-\cos 6+\cos 7-\frac12+1-\cos 6=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$.