Упр.6.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sin t > 0$$; б) $$\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$$; в) $$\sin t < 0$$; г) $$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. $$\sin t>0$$

   Синус положителен в I и II четвертях, поэтому

   $$2\pi k<t<\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin t<\frac{\sqrt3}{2}$$

   Значение $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, искомое неравенство выполняется вне промежутка между этими точками:

   $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin t<0$$

   Синус отрицателен в III и IV четвертях, значит

   $$-\pi+2\pi k<t<2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin t>\frac{\sqrt3}{2}$$

   Значение $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$2\pi k<t<\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$-\pi+2\pi k<t<2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.