Упр.6.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sin 2$$, $$\sin 3$$, $$\cos 4$$, $$\cos 5$$;
б) $$\cos 3$$, $$\cos 4$$, $$\cos 6$$, $$\cos 7$$;
в) $$\sin 3$$, $$\sin 4$$, $$\sin 6$$, $$\sin 7$$;
г) $$\cos 2$$, $$\cos 3$$, $$\sin 4$$, $$\sin 5$$.

Подробный ответ

Расположим данные числа в порядке возрастания.

а)

$$\sin 2,\ \sin 3,\ \cos 4,\ \cos 5$$

Числа $$2$$ и $$3$$ лежат во II четверти, поэтому $$\sin 2>0$$ и $$\sin 3>0$$, причём во II четверти синус убывает, значит

$$\sin 2>\sin 3.$$

Число $$4$$ лежит в III четверти, поэтому $$\cos 4<0$$. Число $$5$$ лежит в IV четверти, поэтому $$\cos 5>0$$.

Сравним $$\sin 2$$ и $$\cos 5$$:

$$\sin 2=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\right),\qquad \cos 5=\cos(2\pi-5).$$

Так как

$$\frac{\pi}{2}-2<2\pi-5,$$

то

$$\sin 2>\cos 5.$$

Следовательно,

$$\cos 4<\cos 5<\sin 3<\sin 2.$$

б)

$$\cos 3,\ \cos 4,\ \cos 6,\ \cos 7$$

Число $$3$$ лежит во II четверти, значит $$\cos 3<0$$. Число $$4$$ лежит в III четверти, значит $$\cos 4<0$$. Число $$6$$ лежит в IV четверти, значит $$\cos 6>0$$. Число $$7$$ лежит в I четверти, значит $$\cos 7>0$$.

Во II и III четвертях косинус отрицателен, причём

$$\cos 3<\cos 4.$$

В I и IV четвертях косинус положителен, причём

$$\cos 7<\cos 6.$$

Итак,

$$\cos 3<\cos 4<\cos 7<\cos 6.$$

в)

$$\sin 3,\ \sin 4,\ \sin 6,\ \sin 7$$

Число $$3$$ лежит во II четверти, значит $$\sin 3>0$$. Число $$4$$ лежит в III четверти, значит $$\sin 4<0$$. Число $$6$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin 6<0$$. Число $$7$$ лежит в I четверти, значит $$\sin 7>0$$.

Среди отрицательных значений имеем $$\sin 4<\sin 6$$, а среди положительных — $$\sin 3<\sin 7$$.

Следовательно,

$$\sin 4<\sin 6<\sin 3<\sin 7.$$