Упр.6.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Расположите в порядке возрастания числа: а) $$\sin\frac{\pi}{7},\ \sin\frac{\pi}{5},\ \sin\frac{2\pi}{3},\ \sin\frac{7\pi}{6},\ \sin\frac{4\pi}{3}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{8},\ \cos\frac{\pi}{3},\ \cos\frac{5\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{4},\ \cos\frac{7\pi}{4}$$.

Расположим данные значения по возрастанию, учитывая знак тригонометрической функции и монотонность на соответствующих промежутках.

а)

$$\sin \frac{\pi}{7},\ \sin \frac{\pi}{5},\ \sin \frac{2\pi}{3},\ \sin \frac{7\pi}{6},\ \sin \frac{4\pi}{3}$$

Первые три угла лежат в I и II четвертях, поэтому их синусы положительны:

$$0<\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{5}<\frac{2\pi}{3}<\pi$$

В I четверти синус возрастает, значит

$$\sin \frac{\pi}{7}<\sin \frac{\pi}{5}<\sin \frac{2\pi}{3}$$

Углы $$\frac{7\pi}{6}$$ и $$\frac{4\pi}{3}$$ лежат в III четверти, где синус отрицателен, и при увеличении угла синус убывает:

$$\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{4\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}$$

Следовательно,

$$\sin \frac{4\pi}{3}<\sin \frac{7\pi}{6}<0<\sin \frac{\pi}{7}<\sin \frac{\pi}{5}<\sin \frac{2\pi}{3}$$

б)

$$\cos \frac{\pi}{8},\ \cos \frac{\pi}{3},\ \cos \frac{5\pi}{6},\ \cos \frac{5\pi}{4},\ \cos \frac{7\pi}{4}$$

Отрицательные косинусы меньше положительных. Углы $$\frac{5\pi}{6}$$ и $$\frac{5\pi}{4}$$ лежат во II и III четвертях, поэтому

$$\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значит,

$$\cos \frac{5\pi}{6}<\cos \frac{5\pi}{4}<0$$

Углы $$\frac{\pi}{3}$$ и $$\frac{\pi}{8}$$ лежат в I четверти, где косинус убывает, поэтому

$$\cos \frac{\pi}{3}<\cos \frac{\pi}{8}$$

Кроме того,

$$\cos \frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}>\cos \frac{\pi}{8}$$

Итак, окончательно:

$$\cos \frac{5\pi}{6}<\cos \frac{5\pi}{4}<\cos \frac{\pi}{3}<\cos \frac{\pi}{8}<\cos \frac{7\pi}{4}$$

Ответ

а) $$\sin \frac{4\pi}{3}<\sin \frac{7\pi}{6}<\sin \frac{\pi}{7}<\sin \frac{\pi}{5}<\sin \frac{2\pi}{3}$$

б) $$\cos \frac{5\pi}{6}<\cos \frac{5\pi}{4}<\cos \frac{\pi}{3}<\cos \frac{\pi}{8}<\cos \frac{7\pi}{4}$$