Упр.6.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
а) $$\operatorname{ctg}(5)\cdot(x-1)\ge 0$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg}(7)\cos(1)}{\sin(1)}\cdot(2x^2-72)<0$$;
в) $$\operatorname{tg}(2)\sin(5)\cdot(7-5x)\le 0$$;
г) $$\operatorname{tg}(1)\operatorname{ctg}(2)\operatorname{tg}(3)\operatorname{ctg}(4)\cdot(x^2+2)>0$$.

Подробный ответ

а) $$\ctg 5\,(x-1)\ge 0.$$

Так как $$3\pi/2<5<2\pi,$$ то $$\ctg 5<0.$$

Тогда неравенство равносильно

$$x-1\le 0,$$

откуда

$$x\le 1.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1].$$

б) $$\frac{\tg 7\cdot \cos 1}{\sin 1}\,(2x^2-72)<0.$$

Поскольку $$0<1<\frac{\pi}{2}$$ и $$2\pi<7<\frac{5\pi}{2},$$ то $$\sin 1>0,$$ $$\cos 1>0,$$ $$\tg 7>0.$$ Значит, первый множитель положителен, и неравенство равносильно

$$2x^2-72<0.$$

Решаем:

$$2x^2-72<0 \\\\ x^2-36<0 \\\\ (x-6)(x+6)<0$$

Отсюда

$$-6<x<6.$$

Ответ: $$x\in(-6;6).$$

в) $$(\tg 2\cdot \sin 5)\,(7-5x)\le 0.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<2<\pi,$$ то $$\tg 2<0.$$ Кроме того, $$\frac{3\pi}{2}<5<2\pi,$$ значит $$\sin 5<0.$$ Следовательно, $$\tg 2\cdot \sin 5>0,$$ и неравенство равносильно

$$7-5x\le 0.$$

Решаем:

$$7-5x\le 0 \\\\ -5x\le -7 \\\\ x\ge \frac{7}{5}$$

Ответ: $$x\in\left[\frac{7}{5};+\infty\right).$$

г) $$\tg 1\cdot \ctg 2\cdot \tg 3\cdot \ctg 4\cdot (x^2+2)>0.$$

Определим знаки множителей:

$$0<1<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \tg 1>0,$$

$$\frac{\pi}{2}<2<\pi\Rightarrow \ctg 2<0,$$

$$\frac{\pi}{2}<3<\pi\Rightarrow \tg 3<0,$$

$$\pi<4<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow \ctg 4>0.$$

Тогда произведение первых четырёх множителей положительно. Кроме того,

$$x^2+2>0$$