Упр.6.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство (относительно переменной $$x$$): а) $$\cos(2)\cdot(2x-1)<0$$; б) $$\cos(3)\cos(5)\cdot(x^2-4)<0$$.

Так как $$\cos 2<0,$$ то неравенство

$$\cos 2\,(2x-1)<0$$

равносильно неравенству

$$2x-1>0.$$

Тогда

$$2x>1,$$

$$x>\frac12.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac12;+\infty\right).$$

Так как $$\cos 3<0,$$ а $$\cos 5>0,$$ то произведение $$\cos 3\cos 5<0.$$

Тогда неравенство

$$\cos 3\cos 5\,(x^2-4)<0$$

равносильно неравенству

$$x^2-4>0.$$

Решаем его:

$$x^2-4=(x-2)(x+2),$$

$$(x-2)(x+2)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>2.$$

Значит,

$$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac12;+\infty\right);$$ б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$