Упр.6.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)-\sqrt{2}\sin(t)=0$$;
• б) $$\sqrt{\frac{4}{3}}\cos(t)=\cos^2(1)+\sin^2(1)$$.

а) $$\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}-\sqrt2\sin t=0.$$

Так как $$\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}=1,$$ получаем

$$1-\sqrt2\sin t=0,$$

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Это можно записать короче:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{\frac43}\cos t=\cos^2 1+\sin^2 1.$$

Так как $$\cos^2 1+\sin^2 1=1,$$ имеем

$$\sqrt{\frac43}\cos t=1,$$

$$\frac{2}{\sqrt3}\cos t=1,$$

$$\cos t=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$