Упр.6.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения: а) $$2\sin(t)$$; б) $$3+4\cos(t)$$; в) $$-3\cos(t)$$; г) $$3-5\sin(t)$$.

Используем, что для любого $$t$$ выполняется

$$-1 \le \sin t \le 1, \qquad -1 \le \cos t \le 1.$$

1. $$2\sin t$$

   Умножим неравенство $$-1 \le \sin t \le 1$$ на $$2$$:

   $$-2 \le 2\sin t \le 2.$$

   Значит, наименьшее значение равно $$-2$$, наибольшее — $$2$$.

2. $$3+4\cos t$$

   Из неравенства $$-1 \le \cos t \le 1$$ получаем:

   $$-4 \le 4\cos t \le 4.$$

   Прибавим $$3$$:

   $$-1 \le 3+4\cos t \le 7.$$

   Следовательно, $$f_{\min}=-1$$, $$f_{\max}=7$$.

3. $$-3\cos t$$

   Умножим $$-1 \le \cos t \le 1$$ на $$-3$$, изменив знаки неравенств:

   $$3 \ge -3\cos t \ge -3.$$

   То есть

   $$-3 \le -3\cos t \le 3.$$

   Значит, наименьшее значение равно $$-3$$, наибольшее — $$3$$.

4. $$3-5\sin t$$

   Из $$-1 \le \sin t \le 1$$ получаем:

   $$-5 \le -5\sin t \le 5.$$

   Прибавим $$3$$:

   $$-2 \le 3-5\sin t \le 8.$$

   Следовательно, $$f_{\min}=-2$$, $$f_{\max}=8$$.

Ответ: а) $$-2$$ и $$2$$; б) $$-1$$ и $$7$$; в) $$-3$$ и $$3$$; г) $$-2$$ и $$8$$.