Упр.59.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Система

$$\begin{cases}3\sqrt[3]{x+y}=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2\sqrt[3]{x+y}=6.\end{cases}$$

Пусть $$a=\sqrt[3]{x+y}, \qquad b=\log_2 x^2.$$

Тогда система

$$\begin{cases} 3\sqrt[3]{x+y}=\log_2 16x^2,\\ \log_2 x^2+2\sqrt[3]{x+y}=6 \end{cases}$$

примет вид

$$\begin{cases} 3a=4+b,\\ b+2a=6. \end{cases}$$

Решим её:

$$\begin{cases} 3a-b=4,\\ 2a+b=6. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$5a=10,\qquad a=2.$$

Тогда

$$b=6-2a=6-4=2.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sqrt[3]{x+y}=2 \Rightarrow x+y=8,$$

$$\log_2 x^2=2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Если $$x=2,$$ то

$$y=8-2=6.$$

Если $$x=-2,$$ то

$$y=8-(-2)=10.$$

Ответ: $$(-2;\,10),\ (2;\,6).$$

Ход решения

Пусть $$a=3^{x-y}, \qquad b=|2y-x|.$$

Тогда система

$$\begin{cases} 3^{x-y}-7|2y-x|=2,\\ |2y-x|-3^{x-y-1}=-2 \end{cases}$$

примет вид

$$\begin{cases} a-7b=2,\\ b-\dfrac{a}{3}=-2. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} a-7b=2,\\ -a+3b=-6. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$-4b=-4,\qquad b=1.$$

Тогда

$$a=2+7b=2+7=9.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$3^{x-y}=9=3^2 \Rightarrow x-y=2,$$

$$|2y-x|=1.$$

Из $$x-y=2$$ получаем $$x=y+2$$. Подставим:

$$|2y-(y+2)|=1,$$

$$|y-2|=1.$$

Тогда

$$y-2=1 \Rightarrow y=3,\qquad x=5,$$

или

$$y-2=-1 \Rightarrow y=1,\qquad x=3.$$

Ответ: $$(5;\,3),\ (3;\,1).$$