Упр.59.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений методом введения новых переменных:
   а) $$\begin{cases}\frac{5}{3x-y}+\frac{3}{x-3y}=-2,\\[4pt]\frac{15}{3x-y}+\frac{2}{x-3y}=1.\end{cases}$$

Пусть $$u=\frac{1}{3x-y}, \quad t=\frac{1}{x-3y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 5u+3t=-2,\\ 15u+2t=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} 15u+9t=-6,\\ 15u+2t=1. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$7t=-7,\quad t=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$5u+3\cdot(-1)=-2,$$

$$5u=1,\quad u=\frac{1}{5}.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} \frac{1}{3x-y}=\frac{1}{5},\\ \frac{1}{x-3y}=-1. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} 3x-y=5,\\ x-3y=-1. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=3x-5.$$

Подставим во второе:

$$x-3(3x-5)=-1,$$

$$x-9x+15=-1,$$

$$-8x=-16,\quad x=2.$$

Тогда

$$y=3\cdot 2-5=1.$$

Ответ

$$\left(2;\,1\right).$$