Упр.59.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}\log_2 x-\log_3 y=-5,\\2\log_2 x+3\log_3 y=0;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}\cos x+\cos 2y=-0{,}5,\\3\cos 2y-\cos x=2{,}5.\end{cases}$$

а)

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$\begin{aligned} \begin{cases} \log_2 x-\log_3 y=-5,\\ 2\log_2 x+3\log_3 y=0 \end{cases} &\Rightarrow \begin{cases} 3\log_2 x-3\log_3 y=-15,\\ 2\log_2 x+3\log_3 y=0 \end{cases} \end{aligned}$$

Сложим уравнения:

$$5\log_2 x=-15,$$

$$\log_2 x=-3,$$

$$x=2^{-3}=\frac{1}{8}.$$

Из первого уравнения:

$$-3-\log_3 y=-5,$$

$$\log_3 y=2,$$

$$y=3^2=9.$$

Ответ: $$\left(\frac{1}{8};\,9\right).$$

б)

Сложим уравнения системы:

$$\begin{cases} \cos x+\cos 2y=-0{,}5,\\ 3\cos 2y-\cos x=2{,}5 \end{cases} \Rightarrow 4\cos 2y=2.$$

Отсюда

$$\cos 2y=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$2y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$y=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Из первого уравнения:

$$\cos x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2},$$

$$\cos x=-1,$$

$$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$(\pi+2\pi k;\,\pm \frac{\pi}{6}+\pi n),\quad k,n\in\mathbb{Z}.$$

в)

Из второго уравнения:

$$3\sqrt{2x+y}-2^{x+2y}=-2,$$

$$2\sqrt{2x+y}=4,$$

$$\sqrt{2x+y}=2,$$

$$2x+y=4.$$

Из первого уравнения:

$$2^{x+2y}-2=6,$$

$$2^{x+2y}=8=2^3,$$

$$x+2y=3.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 2x+y=4,\\ x+2y=3 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 2x+y=4,\\ 2x+4y=6 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$3y=2,\quad y=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$x=4-\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{5}{3}.$$

Ответ: $$\left(\frac{5}{3};\,\frac{2}{3}\right).$$

г)

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 2\sin 2x+\tg 3y=2,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4\sin 2x+2\tg 3y=4,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y=1 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$10\sin 2x=5,$$

$$\sin 2x=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Из первого уравнения:

$$2\cdot \frac{1}{2}+\tg 3y=2,$$

$$\tg 3y=1,$$

$$3y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

$$y=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}.$$

Ответ: $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right),\quad n,k\in\mathbb{Z}.$$