Упр.59.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

   а) $$\begin{cases}3x+2y=1,\\x-y=-3;\end{cases}$$

   б) $$\begin{cases}2\sqrt{x}-3\sqrt{y}=1,\\3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=4;\end{cases}$$

   в) $$\begin{cases}x+y^2=2,\\2y^2+x^2=3;\end{cases}$$

   г) $$\begin{cases}3\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}=3,\\3\sqrt[3]{x}-5\sqrt[4]{y}=1.\end{cases}$$

а) Умножим второе уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 3x+2y=1,\\ 2x-2y=-6. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$5x=-5,\qquad x=-1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$-1-y=-3,\qquad y=2.$$

Ответ: $$(-1; 2).$$

б) Обозначим $$\sqrt{x}=a$$, $$\sqrt{y}=b$$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} 2a-3b=1,\\ 3a-2b=4. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:

$$\begin{cases} 4a-6b=2,\\ 9a-6b=12. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$5a=10,\qquad a=2.$$

Тогда из первого уравнения:

$$2\cdot 2-3b=1,\qquad 3b=3,\qquad b=1.$$

Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, получаем:

$$\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4,\qquad \sqrt{y}=1 \Rightarrow y=1.$$

Ответ: $$(4; 1).$$

в) Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 2x+2y^2=4,\\ x^2+2y^2=3. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$2x-x^2=1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-2x+1=0,\qquad (x-1)^2=0,\qquad x=1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$1+y^2=2,\qquad y^2=1,\qquad y=\pm 1.$$

Ответ: $$(1; -1),\ (1; 1).$$

г) Обозначим $$\sqrt[3]{x}=a$$, $$\sqrt[4]{y}=b$$. Тогда система имеет вид:

$$\begin{cases} a+b=3,\\ 3a-5b=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$5$$:

$$\begin{cases} 5a+5b=15,\\ 3a-5b=1. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$8a=16,\qquad a=2.$$

Тогда

$$b=3-a=1.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{x}=2 \Rightarrow x=8,\qquad \sqrt[4]{y}=1 \Rightarrow y=1.$$

Ответ: $$(8; 1).$$