Упр.59.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Три числа в заданном порядке образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 48, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Пусть $$a,\ b,\ c$$ — три искомых числа.

Так как они образуют геометрическую прогрессию, то

$$b^2=ac.$$

Если второе число увеличить на $$6$$, получим арифметическую прогрессию:

$$a,\ b+6,\ c,$$

значит,

$$2(b+6)=a+c.$$

Если после этого третье число увеличить на $$48$$, снова получится геометрическая прогрессия:

$$a,\ b+6,\ c+48,$$

поэтому

$$(b+6)^2=a(c+48).$$

Из равенства $$a+c=2(b+6)$$ получаем

$$c=2b+12-a.$$

Подставим это в уравнение $$(b+6)^2=a(c+48)$$:

$$(b+6)^2=a(2b+12-a+48)$$

$$b^2+12b+36=2ab+60a-a^2.$$

С другой стороны, из $$b^2=ac$$ и $$c=2b+12-a$$ имеем

$$b^2=a(2b+12-a)=2ab+12a-a^2.$$

Вычтем это равенство из предыдущего:

$$12b+36=48a,$$

$$b+3=4a,$$

$$b=4a-3.$$

Тогда

$$c=2(b+6)-a=2(4a-3+6)-a=7a+6.$$

Подставим в $$b^2=ac$$:

$$(4a-3)^2=a(7a+6).$$

$$16a^2-24a+9=7a^2+6a,$$

$$9a^2-30a+9=0,$$

$$3a^2-10a+3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$a=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Отсюда

$$a_1=\frac13,\qquad a_2=3.$$

Найдём соответствующие значения $$b$$ и $$c$$:

$$a=\frac13 \Rightarrow b=4\cdot \frac13-3=-\frac53,\quad c=7\cdot \frac13+6=\frac{25}{3};$$

$$a=3 \Rightarrow b=4\cdot 3-3=9,\quad c=7\cdot 3+6=27.$$

Проверка показывает, что оба набора удовлетворяют условию.

Ответ

$$\frac13,\ -\frac53,\ \frac{25}{3}$$ или $$3,\ 9,\ 27.$$