Упр.59.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма цифр задуманного трёхзначного числа равна $$8$$, а сумма квадратов его цифр равна $$26$$. Если к задуманному числу прибавить $$198$$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Обозначим цифры задуманного числа через $$x,\ y,\ z$$, где $$x$$ — сотни, $$y$$ — десятки, $$z$$ — единицы. Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} x+y+z=8,\\ x^2+y^2+z^2=26,\\ 100x+10y+z+198=100z+10y+x. \end{cases}$$

Из третьего уравнения:

$$100x+z+198=100z+x$$

$$99x-99z+198=0$$

$$99(x-z)=-198$$

$$x-z=-2,\quad x=z-2.$$

Из первого уравнения:

$$(z-2)+y+z=8$$

$$y=10-2z.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(z-2)^2+(10-2z)^2+z^2=26$$

$$z^2-4z+4+100-40z+4z^2+z^2=26$$

$$6z^2-44z+78=0$$

$$3z^2-22z+39=0$$

$$(3z-13)(z-3)=0.$$

Так как $$z$$ — цифра, то $$z=3$$.

Тогда

$$x=z-2=1,\qquad y=10-2\cdot 3=4.$$

Задуманное число:

$$100x+10y+z=100\cdot 1+10\cdot 4+3=143.$$

Ответ: 143.