Упр.59.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнение параболы $$y=ax^2+bx+c$$, если известно, что она проходит через точки $$M$$, $$P$$, $$Q$$: а) $$M(1;-2)$$, $$P(-1;8)$$, $$Q(2;-1)$$; б) $$M(-1;6)$$, $$P(2;9)$$, $$Q(1;2)$$.

а) Подставим координаты точек в уравнение $$y=ax^2+bx+c$$:

$$\begin{cases} a+b+c=-2,\\ a-b+c=8,\\ 4a+2b+c=-1. \end{cases}$$

Сложим первые два уравнения:

$$2a+2c=6,\quad a+c=3.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2b=-10,\quad b=-5.$$

Подставим $$b=-5$$ в первое уравнение:

$$a+c-5=-2,\quad a+c=3.$$

Теперь используем третье уравнение:

$$4a+2(-5)+c=-1,$$

$$4a+c=9.$$

Из $$a+c=3$$ получаем $$a=3-c$$. Подставим:

$$4(3-c)+c=9,$$

$$12-4c+c=9,$$

$$3c=3,\quad c=1.$$

Тогда $$a=3-1=2.$$

Итак, $$y=2x^2-5x+1.$$

б) Подставим координаты точек в уравнение $$y=ax^2+bx+c$$:

$$\begin{cases} a-b+c=6,\\ 4a+2b+c=9,\\ a+b+c=2. \end{cases}$$

Сложим первое и третье уравнения:

$$2a+2c=8,\quad a+c=4.$$

Вычтем третье уравнение из первого:

$$-2b=4,\quad b=-2.$$

Подставим $$b=-2$$ в первое уравнение:

$$a+2+c=6,\quad a+c=4.$$

Используем второе уравнение:

$$4a+2(-2)+c=9,$$

$$4a+c=13.$$

Из $$a+c=4$$ получаем $$a=4-c$$. Подставим:

$$4(4-c)+c=13,$$

$$16-4c+c=13,$$

$$3c=3,\quad c=1.$$

Тогда $$a=4-1=3.$$

Следовательно, $$y=3x^2-2x+1.$$

Ответ

а) $$y=2x^2-5x+1$$; б) $$y=3x^2-2x+1$$.