Упр.59.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:

а) $$\begin{cases} x+2y-3z=-3,\\ 2x-3y+z=8,\\ -x+y-5z=-8; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x-5y+z=-13,\\ x+3y-2z=5,\\ 2x-2y+5z=-6. \end{cases}$$

а) Сложим первое и третье уравнения:

$$(x+2y-3z)+(-x+y-5z)=-3+(-8)$$

$$3y-8z=-11$$

$$y=\frac{8z-11}{3}$$

Из третьего уравнения:

$$-x+y-5z=-8$$

$$x=y-5z+8$$

Подставим найденное выражение для $$y$$:

$$x=\frac{8z-11}{3}-5z+8=\frac{13-7z}{3}$$

Подставим $$x$$ и $$y$$ во второе уравнение:

$$2x-3y+z=8$$

$$2\cdot\frac{13-7z}{3}-3\cdot\frac{8z-11}{3}+z=8$$

$$\frac{26-14z-24z+33}{3}=8-z$$

$$59-38z=24-3z$$

$$35z=35$$

$$z=1$$

Тогда

$$x=\frac{13-7\cdot1}{3}=2,\qquad y=\frac{8\cdot1-11}{3}=-1$$

Ответ: $$(2;\,-1;\,1).$$

б) Вычтем из первого уравнения второе и третье:

$$(3x-5y+z)-(x+3y-2z)= -13-5$$

$$2x-8y+3z=-18$$

Удобнее исключить $$x$$ и $$z$$ из первых двух уравнений. Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x=5-3y+2z$$

Подставим в первое и третье уравнения:

$$3(5-3y+2z)-5y+z=-13$$

$$2(5-3y+2z)-2y+5z=-6$$

Получаем:

$$15-14y+7z=-13$$

$$10-8y+9z=-6$$

$$14y-7z=28$$

$$8y-9z=16$$

Из первого из этих уравнений:

$$2y-z=4$$

$$z=2y-4$$

Подставим во второе:

$$8y-9(2y-4)=16$$

$$8y-18y+36=16$$

$$-10y=-20$$

$$y=2$$

Тогда

$$z=2\cdot2-4=0$$

и

$$x=5-3\cdot2+2\cdot0=-1$$

Ответ: $$(-1;\,2;\,0).$$