Упр.59.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases}\sin x+\cos y=0,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=\frac{1}{2};\end{cases}$$
   б) система $$\begin{cases}\cos x+\cos y=0{,}5,\\ \sin^2 x+\sin^2 y=1{,}75.\end{cases}$$

Пусть $$u=\sin x,$$ $$t=\cos y.$$ Тогда система

$$\begin{cases} \sin x+\cos y=0,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=\dfrac12 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} u+t=0,\\ u^2+t^2=\dfrac12 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=-t.$$ Подставим во второе:

$$(-t)^2+t^2=\dfrac12$$

$$2t^2=\dfrac12,\qquad t^2=\dfrac14,\qquad t=\pm \dfrac12.$$

Тогда $$u=-t=\mp \dfrac12.$$ Получаем два случая:

$$\begin{cases} \sin x=\dfrac12,\\ \cos y=-\dfrac12 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \sin x=-\dfrac12,\\ \cos y=\dfrac12 \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\\ y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\\ y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k \end{cases}$$

Теперь решим систему

$$\begin{cases} \cos x+\cos y=0{,}5,\\ \sin^2 x+\sin^2 y=1{,}75 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 y)=1{,}75$$

$$\cos^2 x+\cos^2 y=0{,}25.$$

Пусть $$u=\cos x,$$ $$t=\cos y.$$ Тогда

$$\begin{cases} u+t=0{,}5,\\ u^2+t^2=0{,}25 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=0{,}5-t.$$ Подставим во второе:

$$(0{,}5-t)^2+t^2=0{,}25$$

$$0{,}25-t+t^2+t^2=0{,}25$$

$$2t^2-t=0$$

$$t(2t-1)=0.$$

Значит, $$t=0$$ или $$t=\dfrac12.$$ Тогда:

1) если $$t=0,$$ то $$u=0{,}5,$$ то есть

$$\begin{cases} \cos x=\dfrac12,\\ \cos y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\\ y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k \end{cases}$$

2) если $$t=\dfrac12,$$ то $$u=0,$$ то есть

$$\begin{cases} \cos x=0,\\ \cos y=\dfrac12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\\ y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k \end{cases}$$

Ответ: а) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right);$$ б) $$\left(\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right).$$