Упр.59.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}\log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_7 3-\log_7(x-y).\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y. \end{cases}$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad y>0.$$

Из второго уравнения:

$$\log_3 x-\log_3 3=\log_3 2-\log_3 y,$$

$$\log_3\frac{x}{3}=\log_3\frac{2}{y},$$

$$\frac{x}{3}=\frac{2}{y},\qquad xy=6.$$

Из первого уравнения:

$$0{,}5\log_{\pi}\pi^2=0{,}5\cdot 2=1,$$

значит

$$\log_{13}(x^2+y^2)=1,\qquad x^2+y^2=13.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6. \end{cases}$$

Тогда

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13+12=25,$$

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=13-12=1.$$

Так как $$x>0$$, $$y>0$$, то

$$x+y=5,\qquad x-y=1$$

или

$$x+y=5,\qquad x-y=-1.$$

Из первого случая получаем

$$x=3,\quad y=2,$$

из второго —

$$x=2,\quad y=3.$$

Оба решения подходят.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_7 3-\log_7(x-y). \end{cases}$$

Область допустимых значений:

$$x+y>0,\quad x-y>0.$$

Из первого уравнения:

$$\log_7(x+y)=\log_7(x-y)^4,$$

следовательно,

$$x+y=(x-y)^4.$$

Из второго уравнения:

$$\log_7(x+y)=\log_7 3^5-\log_7(x-y)=\log_7\frac{243}{x-y},$$

значит

$$x+y=\frac{243}{x-y}.$$

Обозначим

$$a=x+y,\qquad b=x-y.$$

Тогда

$$\begin{cases} a=b^4,\\ a=\dfrac{243}{b}. \end{cases}$$

Приравниваем:

$$b^4=\frac{243}{b},$$

$$b^5=243=3^5,$$

$$b=3.$$

Тогда

$$a=3^4=81.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$\begin{cases} x+y=81,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Отсюда

$$2x=84,\qquad 2y=78,$$

$$x=42,\qquad y=39.$$

Ответ: а) $$(2;3),\ (3;2)$$; б) $$(42;39)$$.