Упр.59.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}3x=y+1,\\7^{y-2x+2}=7^{y-4x+1}+6;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}x=2y,\\\log_{\frac{1}{3}}(2y+x)+\log_{\frac{1}{3}}(x-y+1)=\log_3\left(\frac{1}{y+1}\right).\end{cases}$$

а) Из первого уравнения получаем:

$$y=3x-1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$7^{(3x-1)-2x+2}=7^{(3x-1)-4x+1}+6.$$

Упростим:

$$7^{x+1}=7^{-x}+6.$$

Положим $$t=7^x,\quad t>0.$$ Тогда $$7^{x+1}=7t,$$ а $$7^{-x}=\frac{1}{t}.$$ Получаем:

$$7t=\frac{1}{t}+6.$$

Умножим на $$t$$:

$$7t^2-6t-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=36+28=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 8}{14}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac17 \quad \text{не подходит, так как } t>0,$$

$$t_2=1.$$

Значит, $$7^x=1,$$ откуда $$x=0.$$

Тогда

$$y=3\cdot 0-1=-1.$$

б) Из первого уравнения:

$$x=2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\log_{\frac13}(2y+x)+\log_{\frac13}(x-y+1)=\log_3\frac{1}{y+1}.$$

Получаем:

$$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_3\frac{1}{y+1}.$$

Так как

$$\log_3\frac{1}{y+1}=-\log_3(y+1)=\log_{\frac13}(y+1),$$

то

$$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_{\frac13}(y+1).$$

Следовательно,

$$\log_{\frac13}(4y)=0,$$

откуда

$$4y=1,\quad y=\frac14.$$

Тогда

$$x=2y=2\cdot \frac14=\frac12.$$

Ответ: а) $$\left(0;\,-1\right)$$; б) $$\left(\frac12;\,\frac14\right).$$