Упр.59.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}2^x \cdot 0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5;\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}9^x \cdot 3^{y-3}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2^x\cdot 0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5. \end{cases}$$

Так как $$0{,}25=\frac14=2^{-2},$$ то

$$2^x\cdot (2^{-2})^{-y}=2^9,$$

откуда

$$2^{x+2y}=2^9,\qquad x+2y=9.$$

Тогда $$x=9-2y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$\sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5.$$

Положим $$\sqrt{y}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда $$y=t^2,$$ и получаем

$$\sqrt{9-2t^2}+2t=5.$$

Перенесём $$2t$$ вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{9-2t^2}=5-2t,$$

$$9-2t^2=25-20t+4t^2.$$

$$6t^2-20t+16=0,$$

$$3t^2-10t+8=0,$$

$$(3t-4)(t-2)=0.$$

Отсюда $$t=\frac43$$ или $$t=2.$$ Тогда

$$y=\frac{16}{9}\quad \text{или}\quad y=4.$$

Найдём $$x$$:

$$x=9-2y.$$

Если $$y=\frac{16}{9},$$ то

$$x=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9}.$$

Если $$y=4,$$ то

$$x=9-8=1.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

Ответ: $$\left(\frac{49}{9};\frac{16}{9}\right),\ (1;4).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 9^x\cdot 3^{y-3}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases}$$

Так как $$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$$ и $$729=3^6,$$ то

$$3^{2x}\cdot 3^{y-3}=3^6,$$

откуда

$$2x+y-3=6,\qquad 2x+y=9.$$

Положим $$\sqrt{x}=a,\ \sqrt{y}=b,$$ где $$a\ge 0,\ b\ge 0.$$ Тогда

$$\begin{cases} 2a^2+b^2=9,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$a=b+1.$$ Подставим в первое:

$$2(b+1)^2+b^2=9,$$

$$2b^2+4b+2+b^2=9,$$

$$3b^2+4b-7=0,$$

$$(3b+7)(b-1)=0.$$

С учётом условия $$b\ge 0$$ получаем $$b=1.$$ Тогда $$a=2.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$x=a^2=4,\qquad y=b^2=1.$$

Ответ: $$(4;1).$$