Упр.59.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

$$\begin{cases} \sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}+2=3\sqrt{\frac{y+5}{x+3y}},\\ xy+2x=13-4y. \end{cases}$$

Пусть

$$a=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}, \quad a>0.$$

Тогда из первого уравнения системы получаем:

$$a+2=\frac{3}{a}.$$

Умножим на $$a$$:

$$a^2+2a-3=0.$$

$$\left(a+3\right)\left(a-1\right)=0.$$

Так как $$a>0$$, то $$a=1$$.

Тогда

$$\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}=1,$$

откуда

$$\frac{x+3y}{y+5}=1,$$

$$x+3y=y+5,$$

$$x=5-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$xy+2x=13-4y,$$

$$\left(5-2y\right)y+2\left(5-2y\right)=13-4y,$$

$$5y-2y^2+10-4y=13-4y,$$

$$2y^2-5y+3=0.$$

$$\left(2y-3\right)\left(y-1\right)=0,$$

откуда

$$y_1=\frac{3}{2}, \quad y_2=1.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$x_1=5-2\cdot \frac{3}{2}=2,$$

$$x_2=5-2\cdot 1=3.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

Ответ: $$\left(3;1\right), \left(2;\frac{3}{2}\right).$$