Упр.59.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}=5,\\xy=216.\end{cases}$$

Пусть $$a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} a+b=5,\\ a^3b^3=216. \end{cases}$$

Так как $$a^3b^3=(ab)^3,$$ то

$$(ab)^3=216 \Rightarrow ab=6.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} a+b=5,\\ ab=6. \end{cases}$$

Числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+6=0.$$

Тогда

$$(t-2)(t-3)=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=3.$$ Значит,

$$(a,b)=(2,3)\ \text{или}\ (3,2).$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$x=a^3,\quad y=b^3.$$

Тогда

$$(x,y)=(2^3,3^3)=(8,27)$$

или

$$(x,y)=(3^3,2^3)=(27,8).$$

Ответ

$$(8;27),\ (27;8).$$