Упр.59.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\sqrt{x-y}+\sqrt{x+3y}=4,\\2x-y=4;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}6x+2y=10,\\\sqrt{2x+y}+\sqrt{6x-3y}=2.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$2x-y=4 \;\Rightarrow\; y=2x-4.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{x-(2x-4)}+\sqrt{x+3(2x-4)}=4,$$

$$\sqrt{4-x}+\sqrt{7x-12}=4.$$

Возведём в квадрат:

$$4-x+7x-12+2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=16,$$

$$2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=28-6x,$$

$$\sqrt{(4-x)(7x-12)}=14-3x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$(4-x)(7x-12)=(14-3x)^2,$$

$$-7x^2+40x-48=196-84x+9x^2,$$

$$16x^2-124x+244=0,$$

$$4x^2-31x+61=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем:

$$x=3 \quad \text{или} \quad x=4.$$

Тогда

$$y=2x-4,$$

$$x=3 \Rightarrow y=2,$$

$$x=4 \Rightarrow y=4.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

Ответ: $$(3;2),\ (4;4).$$

Ответ

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$6x+2y=10 \;\Rightarrow\; y=5-3x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sqrt{2x+(5-3x)}+\sqrt{6x-3(5-3x)}=2,$$

$$\sqrt{5-x}+\sqrt{15x-15}=2.$$

Область допустимых значений:

$$5-x\ge 0,\qquad 15x-15\ge 0,$$

$$x\le 5,\qquad x\ge 1,$$

$$1\le x\le 5.$$

Перенесём один корень:

$$\sqrt{15x-15}=2-\sqrt{5-x}.$$

Возведём в квадрат:

$$15x-15=4-4\sqrt{5-x}+5-x,$$

$$4\sqrt{5-x}=24-16x,$$

$$\sqrt{5-x}=6-4x.$$

С учётом ОДЗ должно быть $$6-4x\ge 0,$$ значит $$x\le \frac32.$$

Теперь возведём в квадрат:

$$5-x=(6-4x)^2,$$

$$5-x=36-48x+16x^2,$$

$$16x^2-47x+31=0,$$

$$(16x-31)(x-1)=0.$$

Получаем:

$$x=\frac{31}{16} \quad \text{или} \quad x=1.$$

Значение $$x=\frac{31}{16}$$ не подходит, так как $$x\le \frac32$$ и при подстановке правая часть отрицательна. Остаётся $$x=1.$$

Тогда

$$y=5-3\cdot 1=2.$$

Ответ: $$(1;2).$$