Упр.59.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Система: $$\begin{cases}\sqrt{x+1}-y=2,\\ \log_7(4-x)=y;\end{cases}$$
б) Система: $$\begin{cases}y+x=1,\\ 2^{x-y}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\cdot\frac{8^{2/3}}{2}.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Из второго уравнения системы получаем $$y=\log_7(4-x).$$ Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{x+1}-\log_7(4-x)=2.$$

Область допустимых значений:

$$x+1\ge 0,\quad 4-x>0,$$

откуда

$$-1\le x<4.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x+1}-2,\qquad g(x)=\log_7(4-x).$$

На промежутке $$-1\le x<4$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, решение может быть только одно. Проверим значение $$x=3$$:

$$\sqrt{3+1}-\log_7(4-3)=2-0=2.$$

Тогда

$$y=\log_7(4-3)=\log_7 1=0.$$

Следовательно, $$x=3,\ y=0.$$

б) Из первого уравнения системы имеем

$$y=1-x.$$

Преобразуем правую часть второго уравнения:

$$\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}=4\cdot \frac{(2^3)^{2/3}}{2}=4\cdot \frac{2^2}{2}=8=2^3.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} x+y=1,\\ 2^{x-y}=2^3. \end{cases}$$

Отсюда

$$x-y=3.$$