Упр.59.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{y-x}{2x}}-\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{2},\\16\sqrt{\frac{x}{x+y}}-7\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1.\end{cases}$$

а) Обозначим

$$a=\sqrt{\frac{y-x}{2x}},\qquad b=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} a-b=\frac12,\\ 16b-7a=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=a-\frac12.$$ Подставим во второе:

$$16\left(a-\frac12\right)-7a=1,$$

$$16a-8-7a=1,$$

$$9a=9,\qquad a=1.$$

Тогда

$$b=1-\frac12=\frac12.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1 \;\Rightarrow\; \frac{y-x}{2x}=1 \;\Rightarrow\; y-x=2x \;\Rightarrow\; y=3x,$$

$$\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac12 \;\Rightarrow\; \frac{x}{x+y}=\frac14 \;\Rightarrow\; 4x=x+y \;\Rightarrow\; y=3x.$$

Проверим область допустимых значений: при $$y=3x$$ нужно, чтобы $$x\neq 0$$, иначе знаменатели обращаются в нуль. Значит,

$$x\neq 0,\qquad y=3x.$$

б) Сделаем замену:

$$a=2^{y+x},\qquad b=3^{x-y}.$$

Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} a-b=1,\\ a+b=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2a=4,\qquad a=2.$$

Тогда

$$b=3-a=1.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$2^{x+y}=2 \;\Rightarrow\; x+y=1,$$

$$3^{x-y}=1 \;\Rightarrow\; x-y=0.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x=\frac12,\qquad y=\frac12.$$

Ответ

а) $$\left(x, y\right)=\left(k, 3k\right),\ k\neq 0.$$

б) $$\left(\frac12,\frac12\right).$$