Упр.59.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases} y+2x=3,\\ x^2+y^2=2; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} \frac{y}{9}=\left(\frac{1}{3}\right)^x,\\ y=\log_2 x. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=3-2x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+(3-2x)^2=2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+9-12x+4x^2=2,$$

$$5x^2-12x+7=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-12)^2-4\cdot 5\cdot 7=144-140=4,$$

$$x=\frac{12\pm 2}{2\cdot 5}.$$

Тогда

$$x_1=1,\qquad x_2=\frac{7}{5}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=3-2\cdot 1=1,$$

$$y_2=3-2\cdot \frac{7}{5}=\frac{1}{5}.$$

Следовательно, решения системы:

$$\left(1;1\right),\ \left(\frac{7}{5};\frac{1}{5}\right).$$

б) Из первого уравнения:

$$\frac{y}{9}=\left(\frac13\right)^x \quad \Rightarrow \quad y=9\left(\frac13\right)^x=3^{2-x}.$$

Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} y=3^{2-x},\\ y=\log_2 x. \end{cases}$$

Область допустимых значений: $$x>0.$$

Рассмотрим точку $$x=2$$:

$$3^{2-2}=1,\qquad \log_2 2=1.$$

Обе функции принимают одно и то же значение, значит, это решение системы.

Поскольку функция $$y=3^{2-x}$$ убывает при $$x>0$$, а функция $$y=\log_2 x$$ возрастает при $$x>0$$, точка пересечения единственная.

Итак, решение системы:

$$\left(2;1\right).$$

Ответ

а) $$\left(1;1\right),\ \left(\frac{7}{5};\frac{1}{5}\right);$$ б) $$\left(2;1\right).$$