Упр.59.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений методом подстановки:
   а) $$\begin{cases}x+y=3,\\x^2+2y^2-xy+2x-3y=3;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x+y=5,\\x^3+y^3=35;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}\sqrt{7-6x-y^2}=y+5,\\y=x-1;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}x+2y=1,\\2x^2+3xy-3y^2=6.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=3-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+2(3-x)^2-x(3-x)+2x-3(3-x)=3.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+18-12x+2x^2-3x+x^2+2x-9+3x-3=0,$$

$$4x^2-10x+6=0,$$

$$2x^2-5x+3=0.$$

$$D=25-24=1,$$

$$x_1=\frac{5-1}{4}=1,\qquad x_2=\frac{5+1}{4}=\frac32.$$

Тогда

$$y_1=3-1=2,\qquad y_2=3-\frac32=\frac32.$$

Ответ: $$(1;2),\ \left(\frac32;\frac32\right).$$

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=5-x.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Тогда

$$5(x^2-xy+y^2)=35,$$

$$x^2-xy+y^2=7.$$

Подставим $$y=5-x$$:

$$x^2-x(5-x)+(5-x)^2=7,$$

$$x^2-5x+x^2+25-10x+x^2=7,$$

$$3x^2-15x+18=0,$$

$$x^2-5x+6=0,$$

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Отсюда

$$x_1=2,\qquad x_2=3.$$

Тогда

$$y_1=5-2=3,\qquad y_2=5-3=2.$$

Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$

в) Из второго уравнения имеем:

$$y=x-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{7-6x-(x-1)^2}=x-1+5,$$

$$\sqrt{7-6x-x^2+2x-1}=x+4,$$

$$\sqrt{-x^2-4x+6}=x+4.$$

Возведём в квадрат, учитывая ОДЗ:

$$-x^2-4x+6=(x+4)^2,$$

$$-x^2-4x+6=x^2+8x+16,$$

$$2x^2+12x+10=0,$$

$$x^2+6x+5=0,$$

$$(x+5)(x+1)=0.$$

Получаем $$x=-5$$ или $$x=-1$$. Проверим условие $$x+4\ge 0$$, так как правая часть равна корню:

$$-5+4<0,$$

$$-1+4>0.$$

Подходит только $$x=-1$$. Тогда

$$y=x-1=-2.$$

Ответ: $$(-1;-2).$$

г) Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=1-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2(1-2y)^2+3(1-2y)y-3y^2=6.$$

Раскроем скобки:

$$2-8y+8y^2+3y-6y^2-3y^2=6,$$

$$-y^2-5y-4=0,$$

$$y^2+5y+4=0,$$

$$(y+4)(y+1)=0.$$

Отсюда

$$y_1=-4,\qquad y_2=-1.$$

Тогда

$$x_1=1-2(-4)=9,\qquad x_2=1-2(-1)=3.$$

Ответ: $$(9;-4),\ (3;-1).$$