Упр.58.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16$$; б) $$\left(x-1\right)^2+\left(\lvert y\rvert-2\right)^2=16$$; в) $$\left(\lvert x\rvert-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16$$; г) $$\left(\lvert x\rvert-1\right)^2+\left(\lvert y\rvert-2\right)^2=16$$.

Подробный ответ

а) Уравнение $$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16$$ задаёт окружность с центром $$\left(1;2\right)$$ и радиусом $$R=4$$.

б) Так как $$|y|=y$$ при $$y\ge 0$$ и $$|y|=-y$$ при $$y<0$$, получаем совокупность двух окружностей:

$$\begin{cases} \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16, & y\ge 0,\\ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=16, & y<0. \end{cases}$$

Это верхняя полуокружность с центром $$\left(1;2\right)$$ и нижняя полуокружность с центром $$\left(1;-2\right)$$, обе радиуса $$4$$.

в) Аналогично, при $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, а при $$x<0$$ — $$|x|=-x$$. Поэтому:

$$\begin{cases} \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16, & x\ge 0,\\ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16, & x<0. \end{cases}$$

Это правая полуокружность с центром $$\left(1;2\right)$$ и левая полуокружность с центром $$\left(-1;2\right)$$, обе радиуса $$4$$.

г) Здесь нужно рассмотреть все сочетания знаков $$x$$ и $$y$$:

$$\begin{cases} \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16, & x\ge 0,\ y\ge 0,\\ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16, & x<0,\ y\ge 0,\\ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=16, & x\ge 0,\ y<0,\\ \left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=16, & x<0,\ y<0. \end{cases}$$

График состоит из четырёх соответствующих частей окружностей с центрами $$\left(1;2\right)$$, $$\left(-1;2\right)$$, $$\left(1;-2\right)$$ и $$\left(-1;-2\right)$$, радиус каждой окружности равен $$4$$.

Ответ: а) окружность с центром $$\left(1;2\right)$$ и радиусом $$4$$; б) верхняя и нижняя полуокружности с центрами $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(1;-2\right)$$; в) правая и левая полуокружности с центрами $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(-1;2\right)$$; г) четыре части окружностей с центрами $$\left(\pm 1;\pm 2\right)$$, радиус $$4$$.