Упр.58.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$y=\sqrt{1-x^2}$$; б) $$|y|=-\sqrt{1-(x-1)^2}$$; в) $$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$; г) $$|y|=-\sqrt{1-x^2}+3$$.
а) $$y=\sqrt{1-x^2}$$
Возведём в квадрат:
$$y^2=1-x^2$$
$$x^2+y^2=1$$
Это окружность с центром $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=1$$. Так как $$y=\sqrt{1-x^2}$$, то $$y\ge 0$$, значит, нужен только верхний полукруг.
б) $$|y|=-\sqrt{1-(x-1)^2}$$
Левая часть неотрицательна, а правая не положительна. Поэтому обе части равны нулю:
$$|y|=0,\qquad \sqrt{1-(x-1)^2}=0$$
Отсюда
$$y=0$$
$$1-(x-1)^2=0$$
$$x-1=\pm 1$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(2;0)$$. График — эти две точки.
в) $$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$
Преобразуем уравнение:
$$-(y+2)=\sqrt{1-x^2}$$
$$(y+2)^2=1-x^2$$
$$x^2+(y+2)^2=1$$
Это окружность с центром $$O(0;-2)$$ и радиусом $$R=1$$. Так как правая часть неотрицательна, то
$$-(y+2)\ge 0,\qquad y\le -2$$
Значит, нужен нижний полукруг окружности.
г) $$|y|=-\sqrt{1-x^2}+3$$
Рассмотрим случаи:
- Если $$y\ge 0$$, то $$|y|=y$$ и
$$y=-\sqrt{1-x^2}+3$$
$$\sqrt{1-x^2}=3-y$$
$$1-x^2=(3-y)^2$$
$$x^2+(y-3)^2=1$$
При этом $$0\le y\le 3$$, значит, это нижняя полуокружность с центром $$O(0;3)$$ и радиусом $$R=1$$.
- Если $$y\le 0$$, то $$|y|=-y$$ и
$$-y=-\sqrt{1-x^2}+3$$
$$y=\sqrt{1-x^2}-3$$
$$\sqrt{1-x^2}=y+3$$
$$1-x^2=(y+3)^2$$
$$x^2+(y+3)^2=1$$
При этом $$-3\le y\le 0$$, значит, это верхняя полуокружность с центром $$O(0;-3)$$ и радиусом $$R=1$$.
Итак, график состоит из двух полуокружностей: нижней с центром $$(0;3)$$ и верхней с центром $$(0;-3)$$, обе радиуса $$1$$.
Ответ
а) верхняя полуокружность окружности $$x^2+y^2=1$$; б) точки $$(0;0)$$ и $$(2;0)$$; в) нижняя полуокружность окружности $$x^2+(y+2)^2=1$$; г) две полуокружности: нижняя с центром $$(0;3)$$ и верхняя с центром $$(0;-3)$$, радиус $$1$$.
