Упр.58.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств $$|x-y|\leq 2,\quad |x+y|\leq 2$$. Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена:
   а) ниже прямой $$y=1$$;
   б) выше прямой $$y=0{,}5$$;
   в) правее прямой $$x=1$$;
   г) выше параболы $$y=x^2$$.

Область, заданная системой $$|x-y|\le 2,\quad |x+y|\le 2,$$ — это квадрат с вершинами $$(-2,0),\ (0,2),\ (2,0),\ (0,-2).$$

Его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 4\cdot 4=8.$$

а) Ниже прямой $$y=1$$

Внутри квадрата часть выше прямой $$y=1$$ — это треугольник с основанием $$2$$ и высотой $$1$$, поэтому его площадь равна

$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$

Тогда искомая вероятность:

$$P=\frac{S-S_1}{S}=\frac{8-1}{8}=\frac78.$$

б) Выше прямой $$y=0{,}5$$

Часть фигуры выше прямой $$y=0{,}5$$ — это верхний треугольник с основанием $$3$$ и высотой $$\frac32$$:

$$S_1=\frac12\cdot 3\cdot \frac32=\frac94.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_1}{S}=\frac{\frac94}{8}=\frac{9}{32}.$$

в) Правее прямой $$x=1$$

Справа от прямой $$x=1$$ внутри квадрата получается треугольник с основанием $$2$$ и высотой $$1$$:

$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$

Тогда

$$P=\frac{S_1}{S}=\frac18.$$

г) Выше параболы $$y=x^2$$

Искомая площадь равна

$$S_1=\int_{-1}^{0}\bigl((x+2)-x^2\bigr)\,dx+\int_{0}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx.$$

Так как фигура симметрична относительно оси $$Oy$$, получаем

$$S_1=2\int_{0}^{1}(2-x-x^2)\,dx.$$

Вычислим:

$$S_1=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1} =2\left(2-\frac12-\frac13\right) =2\cdot\frac76 =\frac73.$$

Тогда вероятность:

$$P=\frac{S_1}{S}=\frac{\frac73}{8}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

а) $$\frac78$$; б) $$\frac{9}{32}$$; в) $$\frac18$$; г) $$\frac{7}{24}$$.