Упр.58.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств: а) система $$x \leq 9$$, $$y \leq 0$$, $$2x+5y \geq 10$$; б) система $$x+y \leq 12$$, $$y-x \leq 12$$, $$y \geq 0$$.

а) Построим границы области:

$$x \le 9,\quad y \le 0,\quad 2x+5y \ge 10.$$

Третье неравенство преобразуем:

$$2x+5y \ge 10$$
$$5y \ge -2x+10$$
$$y \ge -\frac{2}{5}x+2.$$

Искомая фигура — треугольник с вершинами $$A(5,0),\ B(9,0),\ C(9,-1{,}6).$$

Найдём его площадь:

$$S=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot(9-5)\cdot 1{,}6=3{,}2.$$

б) Рассмотрим систему:

$$x+y \le 12,\quad y-x \le 12,\quad y \ge 0.$$

Перепишем неравенства:

$$y \le 12-x,$$
$$y \le x+12.$$

Область решений — треугольник с вершинами $$(-12,0),\ (0,12),\ (12,0).$$

Его площадь равна:

$$S=\frac12\cdot 24\cdot 12=144.$$

Ответ

а) $$3{,}2$$; б) $$144$$.