Упр.58.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\geq 0$$; б) $$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\leq 0$$.

а) Рассмотрим знак дроби

$$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\ge 0.$$

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, либо числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем две системы:

$$\begin{cases} 4-x^2\ge 0,\\ 2x+3y-6>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 4-x^2\le 0,\\ 2x+3y-6<0 \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$4-x^2\ge 0 \iff x^2\le 4 \iff -2\le x\le 2,$$

$$2x+3y-6>0 \iff y>-\frac23x+2.$$

Из второго:

$$4-x^2\le 0 \iff x^2\ge 4 \iff x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2,$$

$$2x+3y-6<0 \iff y<-\frac23x+2.$$

Итак, искомое множество — объединение областей:

$$\left\{ \begin{aligned} -2\le x\le 2,\\ y>-\frac23x+2 \end{aligned} \right. \quad \cup \quad \left\{ \begin{aligned} x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2,\\ y<-\frac23x+2 \end{aligned} \right.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\le 0.$$

Дробь неположительна, когда числитель и знаменатель разных знаков, либо числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем две системы:

$$\begin{cases} x^2+y^2-4\ge 0,\\ |x|+|y|-2<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+y^2-4\le 0,\\ |x|+|y|-2>0 \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2+y^2\ge 4,\\ |x|+|y|<2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ |x|+|y|>2 \end{cases}$$

Следовательно, искомое множество — точки внутри и на окружности $$x^2+y^2=4$$, лежащие вне ромба $$|x|+|y|=2$$, то есть

$$\left\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,\ |x|+|y|>2\right\}.$$

Это множество симметрично относительно обеих осей координат.

Ответ

а) $$\left\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\ y>-\frac23x+2\right\}\cup\left\{(x,y)\mid (x\le -2\ \text{или}\ x\ge 2),\ y<-\frac23x+2\right\}.$$

б) $$\left\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,\ |x|+|y|>2\right\}.$$