Упр.58.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$xy \le 2$$; б) $$y < \frac{2}{|x|}$$; в) $$|x|y < 2$$; г) $$|x| < \frac{2}{y}$$.

Подробный ответ

Построим множество точек, удовлетворяющих каждому неравенству.

а) $$xy \le 2$$

Рассмотрим случаи:

$$\begin{cases} x>0,\quad y \le \dfrac{2}{x},\\ x<0,\quad y \ge \dfrac{2}{x},\\ x=0,\quad 0 \le 2. \end{cases}$$

При $$x=0$$ неравенство верно при любом $$y$$, поэтому в решение входит вся ось $$Oy$$. Граница области — гипербола $$y=\dfrac{2}{x}$$, и берётся часть плоскости, лежащая не выше этой гиперболы при $$x>0$$ и не ниже неё при $$x<0$$.

б) $$y < \dfrac{2}{|x|}$$

Выражение имеет смысл только при $$x \ne 0$$. Так как $$|x|>0$$, получаем:

$$y < \dfrac{2}{|x|}.$$

Это область, лежащая ниже графика функции $$y=\dfrac{2}{|x|}$$, без самой границы.

в) $$|x| \cdot y < 2$$

Так как $$|x| \ge 0$$, рассмотрим случаи:

$$\begin{cases} x>0,\quad xy<2,\quad y<\dfrac{2}{x},\\ x<0,\quad -xy<2,\quad y>-\dfrac{2}{x},\\ x=0,\quad 0<2. \end{cases}$$

При $$x=0$$ неравенство выполняется при любом $$y$$. Значит, решение — область ниже графика $$y=\dfrac{2}{|x|}$$, включая ось $$Oy$$.

г) $$|x| < \dfrac{2}{y}$$

Здесь обязательно $$y>0$$, так как правая часть должна быть положительной. Тогда:

$$|x| < \dfrac{2}{y} \iff y < \dfrac{2}{|x|}.$$

Следовательно, решение существует только при $$y>0$$ и задаётся областью внутри ветвей гиперболы $$y=\dfrac{2}{|x|}$$, то есть:

$$\begin{cases} y>0,\\ |x| < \dfrac{2}{y}. \end{cases}$$

Ответ

а) область, заданная неравенством $$xy \le 2$$;
б) область ниже графика $$y=\dfrac{2}{|x|}$$, $$x \ne 0$$;
в) область ниже графика $$y=\dfrac{2}{|x|}$$, включая ось $$Oy$$;
г) область, где $$y>0$$ и $$|x| < \dfrac{2}{y}$$.