Упр.58.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}$$; б) $$\sqrt{1-y}\le\sqrt{1-2x^2}$$; в) $$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}$$; г) $$\sqrt{y^2-1}\ge\sqrt{2x-1}$$.

Подробный ответ

а) Для неравенства

$$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}$$

получаем систему:

$$\begin{cases} 3x-y-1\ge 0,\\ 2x+y-1\ge 0,\\ 3x-y-1<2x+y-1. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} y\le 3x-1,\\ y\ge -2x+1,\\ y>\dfrac{x}{2}. \end{cases}$$

Искомое множество точек — пересечение этих трёх полуплоскостей.

б) Для неравенства

$$\sqrt{1-y}\le \sqrt{1-2x^2}$$

получаем систему:

$$\begin{cases} 1-y\ge 0,\\ 1-2x^2\ge 0,\\ 1-y\le 1-2x^2. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} y\le 1,\\ -\dfrac{1}{\sqrt2}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt2},\\ y\ge 2x^2. \end{cases}$$

Искомое множество точек — часть плоскости между параболой $$y=2x^2$$ и прямой $$y=1$$ при $$-\dfrac{1}{\sqrt2}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt2}$$.

в) Для неравенства

$$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}$$

получаем систему:

$$\begin{cases} x+y-1\ge 0,\\ 2x-y\ge 0,\\ x+y-1>2x-y. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} y\ge -x+1,\\ y\le 2x,\\ y>\dfrac{x+1}{2}. \end{cases}$$

Искомое множество точек — пересечение соответствующих полуплоскостей.

г) Для неравенства

$$\sqrt{y^2-1}\ge \sqrt{2x-1}$$

получаем систему:

$$\begin{cases} y^2-1\ge 0,\\ 2x-1\ge 0,\\ y^2-1\ge 2x-1. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} y\le -1 \ \text{или}\ y\ge 1,\\ x\ge \dfrac12,\\ y^2\ge 2x. \end{cases}$$

Искомое множество точек — часть плоскости, лежащая справа от прямой $$x=\dfrac12$$ и вне полосы $$-1<y<1$$, при этом удовлетворяющая условию $$y^2\ge 2x$$.