Упр.58.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$|x+y|+2x-y\geq 3$$; б) $$\frac{|x+y|}{x+y}\cdot x+|x+y|+y\leq 4$$.

Рассмотрим случаи в зависимости от знака выражения $$x+y$$.

а)

$$|x+y|+2x-y\ge 3$$

Если $$x+y\ge 0$$, то $$|x+y|=x+y$$, и получаем:

$$x+y+2x-y\ge 3$$

$$3x\ge 3$$

$$x\ge 1.$$

При этом должно выполняться $$y\ge -x$$.

Если $$x+y<0$$, то $$|x+y|=-(x+y)$$, и тогда:

$$-(x+y)+2x-y\ge 3$$

$$x-2y\ge 3$$

$$y\le \frac{x-3}{2}.$$

При этом должно выполняться $$y<-x$$.

Итак, множество решений задаётся объединением двух областей:

• $$x\ge 1,\ y\ge -x$$;
• $$y<-x,\ y\le \frac{x-3}{2}.$$

б)

$$\frac{|x+y|}{x+y}\,x+|x+y|+y\le 4$$

Здесь обязательно $$x+y\ne 0$$, а знак дроби зависит от знака $$x+y$$.

Если $$x+y>0$$, то $$\frac{|x+y|}{x+y}=1$$ и $$|x+y|=x+y$$. Тогда:

$$x+(x+y)+y\le 4$$

$$2x+2y\le 4$$

$$y\le -x+2.$$

При этом $$y>-x$$.

Если $$x+y<0$$, то $$\frac{|x+y|}{x+y}=-1$$ и $$|x+y|=-(x+y)$$. Тогда:

$$-x-(x+y)+y\le 4$$

$$-2x\le 4$$

$$x\ge -2.$$

При этом $$y<-x$$.

Следовательно, множество решений — объединение областей:

• $$y>-x,\ y\le -x+2$$;
• $$x\ge -2,\ y<-x.$$

Ответ:

а) $$\{(x,y)\mid x\ge 1,\ y\ge -x\}\cup\{(x,y)\mid y<-x,\ y\le \frac{x-3}{2}\}$$;

б) $$\{(x,y)\mid y>-x,\ y\le -x+2\}\cup\{(x,y)\mid x\ge -2,\ y<-x\}$$.