Упр.58.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

а) $$2|x-3|+2x-3y\leq 0$$;

б) $$x-3+|y+2|\geq 2x+5$$.

а) Рассмотрим случаи в зависимости от знака выражения под модулем.

Если $$x \ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и неравенство принимает вид

$$2(x-3)+2x-3y \le 0,$$

$$4x-6-3y \le 0,$$

$$3y \ge 4x-6,$$

$$y \ge \frac{4x-6}{3}.$$

Если $$x \le 3,$$ то $$|x-3|=-(x-3),$$ и получаем

$$-2(x-3)+2x-3y \le 0,$$

$$6-3y \le 0,$$

$$y \ge 2.$$

Итак, множество решений задаётся системой

$$\begin{cases} x \ge 3,\\ y \ge \dfrac{4x-6}{3} \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x \le 3,\\ y \ge 2. \end{cases}$$

Граница состоит из луча $$y=2$$ при $$x \le 3$$ и луча $$y=\dfrac{4x-6}{3}$$ при $$x \ge 3,$$ причём точка $$\left(3,2\right)$$ входит в решение.

б) Аналогично рассмотрим случаи по знаку выражения под модулем.

Если $$y \ge -2,$$ то $$|y+2|=y+2,$$ и неравенство принимает вид

$$x-3+(y+2) \ge 2x+5,$$

$$-x+y-6 \ge 0,$$

$$y \ge x+6.$$

Если $$y \le -2,$$ то $$|y+2|=-(y+2),$$ и получаем

$$x-3-(y+2) \ge 2x+5,$$

$$-x-y-10 \ge 0,$$

$$y \le -x-10.$$

Следовательно, множество решений задаётся системой

$$\begin{cases} y \ge -2,\\ y \ge x+6 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y \le -2,\\ y \le -x-10. \end{cases}$$

Это объединение двух областей: выше прямых $$y=-2$$ и $$y=x+6$$, а также ниже прямых $$y=-2$$ и $$y=-x-10.$$

Ответ

а) $$\{(x,y)\mid x \le 3,\ y \ge 2\}\cup\{(x,y)\mid x \ge 3,\ y \ge \frac{4x-6}{3}\}.$$

б) $$\{(x,y)\mid y \ge -2,\ y \ge x+6\}\cup\{(x,y)\mid y \le -2,\ y \le -x-10\}.$$